基于APOS理论下《直线与平面平行》
的教学设计
华体体育（中国）股份有限公司 彭春莲
一、APOS理论简介
APOS理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论，APOS是英文单词action（操作）、process（过程）、object(对象)、scheme（概型）的第一个字母的组合，表示概念学习过程的每一个阶段。APOS理论认为，概念学习需要经历四个阶段：“操作”阶段进行活动或操作；“过程”阶段对操作的内容反省内化；之后才上升到“对象”阶段；个体在经过以上递进的三个阶段后，就能在建构的基础上进入到“概型”阶段。此时的数学概念是以一种综合的心理图式存在于学生大脑，含有具体的概念实例、抽象过程、完整的定义以及和其他概念的区别与联系等。
APOS理论指出了概念形成的规律性和概念学习的层次性。基于该理论，我们可设计逐层渐进的概念教学，使学生在“操作”、 “过程” 、“对象”、 “概型”这些阶段中经历抽象概括和自我建构概念的过程，以比较自然的方式提高学生的抽象概括能力。
二、基于APOS理论下《直线与平面平行》的教学设计
（一）教材分析：
直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）教学目标
1、知识目标
（1）掌握直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法
（2）理解直线和平面平行的判定定理并能简单应用．
（3）理解直线和平面平行的性质定理并能简单应用。
2、能力目标
（1）理解并掌握直线和平面平行．
（2）直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想．
（3）能运用直线和平面的判定定理，把线面平行转化为线线平行．用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．
3、情感目标
（1）体验获取知识的成功感受，激发学生研究的积极性和对数学的情感。
（2）在问题的讨论和探究过程中年，培养学生严谨的治学态度和良好的思维习惯。
（三）教学重点、难点
1．教学重点：直线和平面平行的判定定理和性质定理．
2．教学难点：直线和平面平行的判定定理和性质定理的应用．
（四）教学理念：APOS理论
学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者。为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，采用APOS理论引导发现，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成再发现、再创造的过程。通过学生自主的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生分析问题解决问题的能力，不断发现和探索新知的精神。
（五）设计思路：
本节直线与平面平行的概念，判定定理及性质定理与学生学习的生活联系紧密，学习时，一方面引导学生从实际生活出发，把知识与周围的事物联系起来；另一方面，教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行的性质及其证明。
（六）教学过程
【活动阶段】通过实例让学生对直线和平面平行在现实生活中的应用有个感性认识。
1．创设情景，提出问题
利用幻灯片给出同学们熟悉的图片（1）学校的塑胶跑道（2）学校的旗杆（3）运动场上的单杠，观察它们和平面的关系？
点评：学生在学习新的数学概念的时候，新的信息对学生来讲基本上时陌生的、零碎的和彼此鼓励的，需要教师选择能作为新知识生长点的就只是，将新知识的各因素联系起来，并以最好的方式呈现给学生，通过激发，激活学生头脑的旧知识，调动学生主动学习发现的心理倾向，使得学生对反映新知识内容先有个感性认识。
【过程阶段】通过分析实例，把具体实例抽象成数学问题，具体到普遍性，引导学生对直线和平面平行有感性认识升华到对数学理论知识的理解
1、观察归纳，形成新知
把地面抽象成平面，把 “白线”，“旗杆”，“单杠”抽象成直线，观察直线与平面的交点个数。从直线和平面的公共点个数归纳出直线和平面有三种位置关系：直线和平面平行；直线和平面相交；直线在平面内。用图形语言和符号语言来表示直线和平面平行的三种位置关系。
点评：荷兰著名教育家弗赖登塔尔认为：在课堂教学中，教师的任务就是为学生的发现、创造提供自由广阔的天地，就是在于引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。因此，教师通过实际例子抽象成数学问题（数形结合问题），引发学生思考，将学生带入发现新概念的最近发展区，使他们对直线和平面平行的定义有个粗略的认识，为下一步介绍直线和平面平行的判定埋下伏笔。
【对象阶段】通过数形结合，逐层剖析直线和平面平行的定义，让学生从图形上记忆理解直线和平面平行的定义，从而达到真正认识直线和平面平行的实质是什么，为直线和平面平行的判定埋下伏笔。
我们把第三个问题抽象成数学问题就会得到直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为（线线平行，则线面平行）。
证明：（用反证法）
假设
上面定理可以简称为：线线平行，则线面平行，但要注意是面外的一条直线和面内的一条直线平行。
2.概念辨析，巩固练习
[设计意图]:帮助学生加深对直线和平面平行判定定理的理解.得到满足的三个条件缺一不可.
练习1、判断下列说法是否正确。
（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。
F
(3 )过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行。
例1、已知：三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
解析：
师：要证明EF∥平面BCD，只需要证明什么就可以了呢 ？
生：只需要证明EF和平面BCD内的一条直线平行就可以了。
师：依据是什么 ？
生：线面平行的判定定理。
师：能找到这条线了吗？
生：可以，线EF就是。
师：为什么？
生：因为E、F分别为AB、AD的中点，由中位线的性质可得。
师：要用上这个定理，还需要说明什么？
生：要说明线EF是面外的线。
师：能否把这个证明过程写出来？
生：可以。
点评：通过一问一答的形式激发学生加深对直线与平面平行的判定的初步认识，培养他们的新知识发现能力。
【图式阶段】通过前三个阶段，学生对直线和平面平行有了一定的理解；本阶段即让学生知道本课主要学习内容是什么？如何应用来解决实际问题？这节课我们学到了那些知识？
1、书脊与桌面平行，此时书页与桌面的交线之间有怎样的位置关系呢？
已知:
求证：
例1、 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A'B'C'D'，
（2）所画的线和平面ABCD是什么位置关系？
解：（1）在平面A'C'内，过点P作直线EF，使EF ∥ B'C'，并分别交棱A'B'，C'D'于点E，F。连BE，CF，则EF，BE，CF就是应画的线。
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C'交于B'C'，所以，BC ∥ B'C'。由1知，EF ∥ B'C' ，所以EF ∥ BC，因此EF ∥ BC，EF不在平面AC，BC在平面AC上，从而EF ∥平面AC。BE，CF显然都与面AC相交。
师：解题时应用直线与平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到线线平行。在例题的图中，如果
生：因为
同理AD//面BF.又因为
所以EF//BC,又BC//AD,所以AD//EF.
因为EF
师：直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到的直线与直线平行。这种直线与平面的位置关系同直线与直线的位置关系的互相转化是立体几何的一种重要思想方法。
点评：本例题是一道应用题，通过本题可以让学生体会到数学知识在实践中的应用的优越，达到培养学生数学知识应用能力，激发学生学习数学的兴趣。
（四）课堂小结，完善认知
本节课我们有那些收获？学习了直线和平面平行的性质定理由线面平行⇒线线平行，判定定理是由线线平行⇒线面平行。
教学反思：教师指导学生反思：我们本堂课主要学习了什么内容？体现了数学的什么思想？加法法则有哪些？运用直线与平面平行可以解决什么样的实际问题？有什么收获？
1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；在数学课堂学习中，精心创设问题情景，诱发学生思维的积极性，用卓有成效的启发引导，促使学生的思维活动持续发展。学生对学习有无兴趣和求知欲，是能否积极思维的重要的动机因素。要引起学生对数学学习的兴趣和求知欲望，行之有效的方法是创设合适的问题情景，引起学生对数学知识本身的兴趣。在数学问题情景中，新的需要和学生原有的数学水平之间产生了认知冲突，这种认知冲突能诱发学生数学思维的积极性。因此，合适的问题情景，成为诱发和促进学生思维发展的动力因素。在本节课的设计中，我引入了同学们熟悉的校园场景，教室的门、课本、日光灯与地面的位置关系等来说明直线和平面平行，激发学生学习数学的兴趣。
2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；在直线与平面平行的性质定理设计中，我实际一支笔与地面平行，请学生自主探索笔所在直线与它在地面上的影子的位置关系并形成书面的证明过程，而后由学生总结出性质定理。这一段的处理有别于先讲定理后证明。在此过程中，学生通过实践体验了知识形成的过程，自主完成知识的建构。让学生体会知识获得的喜悦。
3、努力创设新型的师生关系，让课堂活跃起来；注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。
4、在教学过程中，游戏后的分析稍显拖拉，有点不太紧凑。所以备课时要特别注意教材处理的准确性和恰当性。
点评：通过师生共同反思，其目的是为了更好的促进新旧知识之间的联系，使得新知识与学生头脑中原有的旧知识建立逻辑性的稳固联系，从而形成新的认知结构。同事，体现在学习策略的选择、实施、调整等方面，从整体上也提高了学生的认知水平，使学生达到了对概念的内化性理解。学生通过反思，不仅可以梳理在学习过程中对概念的理解程度，还可以评价自己在认知加工过程中所闪现出的思维火花。领悟其中的数学思想和方法，对提高数学思维能力起到了积极的作用。