浅谈绝对值

广西钦州二中    徐鸿光

 

│x│的几何意义是在数轴上实数x的对应点到原点的距离，│a − b│的儿何意义是在数轴上实数a、b对应点的距离，实数的绝对值是复数的模及向量的模的特例，由于绝对值的几何意义直观，可移植性强，一旦与其它知识结合能很好地考查数学基础知识、基本数学思想和方法及数学思维能力、实践能力和创新意识，所以绝对值与其它知识的结合是中学数学知识的一个交汇点，因此是高考命题的一个热点。

一、近年来高考对绝对值的考查情况

综观近几年来的高考数学试题，不难发现绝对值在高考试题中出现的频率呈递增趋势，高考对绝对值的考查常与函数、方程、不等式、三角和数列等内容结合在一起，可以以选择题的形式出现，也可以以填空题、解答题的形式出现。2002年全国卷理第21题考查的函数f（x）=x² ＋│x − a│＋1、文第20题考查的函数

f（x）=x² ＋│x −2│−1、广西卷第7题考查的函数f（x）=x │x＋a│＋b均是二次函数与绝对值的综合；2003年全国卷理第19题考查的不等式x＋│x−2c│>1是一次不等式与绝对值的综合：2004年全国卷Ⅰ理第18题考查的方程4^x＋│1−2^x│=1是指数方程与绝对值的综合、第2题考查的函数y=│sin │是三角函数与绝对值的综合、第8题考查的不等式1<│x＋1│<3是不等式与绝对值的综合，上海卷第10题考查的函数f（x）=a│x−b│＋2是一次函数与绝对值的综合，湖南卷文第16题考查的函数y=│a^x−1│是指数函数平移后与绝对值的综合，江苏卷第12题考查的函数y= 是分式函数与绝对值的综合；2005年伞国卷Ⅱ第17题考查的函数

f（x）=2^{│ x＋1 │ − │ x−1 │}是指数函数与绝对值的综合；2006年全国卷Ⅱ理第12题考查的函数 是一次函数与绝对值的综合。可见，高考对绝对值几乎年年考，因此，加强对绝对值的研究、教学是十分必要的。

二、解决含绝对值问题的基本思路

解决含有绝对值问题的基本思路是去掉绝对值符号，把它转化为不含绝对值的数学问题来解决，常用的去掉绝对值的方法有：

1、零点分区讨论法：先求各绝对值的零点，这些零点将实数集分成若干个区间，在这些区间内就可以去掉绝对值。一般地，凡含有绝对值的问题，都可以用零点分区讨论法去掉绝对值符号。

例1、解不等式│x−2│＋│x＋3│>7

解：不等式 或 或

或x > 3，

∴不等式的解集为 。

例2、若│x−2│−│x−3│< a有实数解，求a的取值范围。

解：设f（x）=

∴f（x）的值域为 [−1,1]，∴a> − 1．

2、平方法：若方程或不等式的两边分别都是一个绝对值，常用两边平方法上掉绝对值符号。

    例3、已知a>b，解不等式│x−a│>│x−b│

    解：不等式 （x—a）²＞（x—b）² x <

        ∴不等式的解集为{x│x＜

}

3、利用绝对值的几何意义：由于│x│的几何意义是在数轴上实数x的对应点与原点的距离，│a−b│的几何意义是在数轴上实数a、b对应点的距离，所以可以利用绝对值的几何意义去掉绝对值。如│x−1│−│x＋2│<3表示数轴上到点1的距离与到

点− 2的距离之差小于3的数的集合，所以x>−2，同理

│x＋1│＋│x−3│>5 x<− 或x> ；│x＋2│＋│x−1│< 4 − < x <

三、个案研究

    1、含有一个绝对值的一次函数。

  （1）函数y=│x│的图象是以原点为顶点的“V”型射线。

    （2）函数y=│kx＋b│（k≠o）的图象是以点（− ，0）为顶点的“V”型射线。

（3）y=k│x＋b│（k≠0）的图象，k>0时，是以点（−b，0）为顶点的“V”型射线；k<0时，是以点（−b，0）为顶点的倒“V”型射线。

 

例4、（2004年上海高考第10题）若函数f（x）=a│x−b│＋2在[0，＋∞）是增函数，则a、b的取值范围是        。

解：f（x）的图象是以点（b，2）为顶点的“V"型射线，

∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴ a>0，b≤0。

    2、含有两个或多个绝对值的一次函数。

    函数f（x）=a│x−m│＋b│x−n│的图象，是以（m，f（m））、（n，f（n））为折点的折线，当a＋b>0时，两端向上无限延伸；当a＋b<0时，两端向下无限延伸；当a＋b=0时，两端平行。利用这一性质很容易求函数的最值及单调区间。

    一般地，函数f（x）=m₁│x−x₁│+m₂│x−x₂│＋m₃│x−x₃│＋…＋m_n│x−x_n│；其中m_i、x_i是常数，m_i、x_i∈R（i=1，2 … ，n），且x₁<x₂<…x_n。

    根据零点分区讨论法，x₁，x₂，…，x_n把R分成n＋1个区间

∴ f（x）= ，

显然，f（x）的图象在（− ，x₁]和[x_n，＋∞）上分别是无限延伸的射线，在每一个区间[x_i，x_i＋1]上是线段，且在每一个分点x_i处f（x）是连续的。

当m₁＋m₂＋…＋m_n>0时，图象两端上挑，f（x）有最小值，

f（x）min=min{f（x₁），f（X₂），…，f（x_n））；

当m₁＋m₂＋…＋m_n<0时，图象两端下垂，f（x）有最大值，

f（x）max=max{f（x₁），f（x₂），……，f（x_n）}；

当m₁＋m₂＋……＋m_n=0时，图象两端水平，f（x）既有最大值也有最小值，f（x）max=max{f（x₁），f（x₂），……，f（x_n）}；

f（x）min=min{f（x₁），f（x₂），……，f（x_n）}；

    如果f（x_i）=f（x_i＋1）=c，则对x∈[x_i，x_i＋1]，都有f（x）=c;

    例5、（2006年高考全国理Ⅱ第12题）求函数 的最小值。

    解：∵各项系数之和为正数，∴f（x）图象两端上挑，f（x）有最小值，∴f（x）min=min{f（1），f（2），f（3），…，f（19）}=f（10）=90．

    例6、是否存在这样的数a，使得│x＋2│−3│x−1│＋│2x＋3│≤a恒成立?如果存在，求出a的取值范围，如果不存在，请说明理由。

    解：│x＋2│−3│x−1││＋│2x＋3│≤a │X＋2│−3│x−1│＋2│x＋ │≤a，令f（x）=│x＋2│−3│x−1│＋2│x＋ │

有最大值也有最小值，

f（x）_max=max{f（−2），f( )，f（1）}=max{ 8， 7，8}=8  a≥8．

    例7、如图，三台机器人M₁、M₂、M₃，和检测台M位于一条直线上，二台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测，送检程序设定：当M₁把零件送达M处时，M₂即可自动送检，当M₂把零件送达M处时，M₃即可自动送检。设M₂送检的速度为v，且M₂送检速度是M₁的2倍，是M₃的3倍，现要求M₁、M₂、M₃的送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上．的位置（M与M₁、M₂、M₃均不能重合）。

解：设检测台的坐标为x ,送检所需时间总和为f（x），则f（x）= （2│x＋2│＋│x−1│＋3│x−3│），因为f（x）各绝对值符号前的系数之和为正，所以f（x）的图象两端上挑，所以f（x）有最小值且f（x）_min=min{f（−2）），f（1），f（3）}=min{ }， 当x∈[1，3]时，f（x）总有最小值。

    M不能与M₂、M₃重合，所以检测台设在该直线上M₂和M₃之间的任意一点，均可使送检时间总和最小。

    高考对绝对值的考查花样多多，涉及面广，而且达到适当的深

度，值得高度重视。