向量方法在高中数学解题中的应用

钦州二中数学组  黄 第

摘要:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它融数、形于一体, 是一个具有几何和代数双重身份的概念，通过运用向量对传统问题的分析, 可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系, 使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因此,向量的引入大大拓宽了学生解题的思路和方法。 本文通过对相关文献的总结，以例题的形式阐述了向量在代数、解析几何和空间几何中的具体应用，着重体现向量在高中数学解题中的具体应用，在某种程度上揭示了应用向量解题的简便性和易掌握性，同时也使学习者能够更清晰地掌握向量的应用。

关键词:高中；数学解题；向量方法

向量的引入,有利于处理几何问题. 它可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算,有利于学生克服空间想象力的障碍和作图的困难，既直观又容易接受,降低了几何学习的难度,有利于丰富学生的思维结构,提高学生运用数学解决问题的能力。数学高考命题注重知识的整体性和综合性, 重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点上设计试题，由于向量具有代数与几何形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点, 成为联系多项知识的媒介。同时它为我们解题提供了一个有力的工具，对于许多问题,若能合理地引入向量,借助向量的运算法则和性质,常常使解题思路清晰, 过程简洁, 收到事半功倍的效果。利用向量分析传统问题,可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系,也为中学生以后进一步学习高等数学奠定直观的基础。笔者在此就向量在代数、几何（平面与立体）中有关应用略作归类, 以供读者参考。

1. 向量在代数中的应用

1.1. 用向量法证明代数不等式

利用向量数量积公式：  （ 为向量 ， 的夹角），显然， ，等号在 ， 共线且同向时成立,注意观察所给不等式的结构,设法构造出合理的向量,利用数量积可以巧妙给出证明。 

例1.1 设 ，求证：

证明：（方法一） 两边同时加上 ，有

有  即

（方法二）利用向量证明  设 的夹角为

利用  有

注:方法一采取常规做法, 运算复杂, 特别是配凑上不易掌握,而方法二中,只要合理地构造出 ，利用数量积,不等式便可水到渠成,巧妙证明。类似的,通过向量可证明 。

1.2. 用向量法求有关三角问题

例1.2 求函数  的最值。

解：原式可根据二倍角公式化为

假设    构造向量 

   

例1.3 已知  ，且 ，求 的值。

解：原等式可化为 ，

构造向量 

   整理得 ,所以   可得 ， .

1.3. 用向量法求解无理函数的最值

求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识求解将会使求解变得容易。

例1.4 求函数 的最大值.

解：构造向量 ,

         

          当且仅当 ，即 时， .

例1.5 求函数  的最小值。

解： 构造向量    应用向量不等式的性质

   当且仅当 和 同向平行时，等号成立   所以 （此时 ）.注：此题要将向量积与向量的基本不等式 结合起来使用。

用向量解代数问题时，主要是将数量关系转化为向量关系，利用向量的性质来求解。在这个过程中，关键是由向量的性质设出恰当的向量，从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等，然后再结合向量知识来解决。

2. 平面向量在解析几何中的应用

2.1. 平面向量在公式方面的应用

2.2.1. 用向量法求点到直线的距离公式

例2.1 求点P₀ 到直线

的距离 。

解：设点 ， 是直线 上任意

两点，则有  （1）

 （2），

得 

由向量数量积的知识可知:  

即 是与 垂直的向量

当 与 的夹角 为锐角时，

（如图2.1）；

当 与 的夹角 为钝角时（如图2.2）

又因为 所以

.

2.1.2. 用向量法求两直线平行、垂直的判定公式

例2.2  已知两直线 不重合，且斜率分别为 ，求直线 与 互相垂直、互相平行的判定公式。

解：由向量的知识可知： 的方向向量为 ， 的方向向量为

再由平面向量的有关知识得  //  

.

2.2. 用向量法求动点轨迹方程

2.2.1. 用向量法求直线方程

例2.3  求过点 ，斜率为 的直线方程。

解：因 为所求直线的一个方向向量，设 为直线上任一点，则向量 与 共线

由向量共线的充要条件可得： 为点斜式方程。特殊地，当点 为点 时，可得直线的斜截式方程为： .

例2.4  求过两定点 ， 的直线方程

解：设 为所求直线上任一点,则

因为向量 与 共线，用向量共线的充要条件得:

为直线的两点式方程

特殊地，当两点为 和 时，可得直线的截距方程：  

2.2.2. 用向量法求圆的方程和圆的切线

例2.5 已知一个直径的两端点为 ， ，求圆的方程。

解: 设 为圆上异于 的两点 ，由周角定理有：

若 是与点 或点 重合的点，则 或  故都有 成立

所以  即 为所求圆的方程，对其进行整理配方，可得圆的标准方程： ，其中 为圆的圆心坐标， 为半径。

例2.6  已知圆的方程为 ，求经过圆上一点 的切线方程。

解：设 为切线上异于 的任一点，那么

，

因为 ，所以

整理可得：

显然，当 与 重合时，其坐标也满足此方程

故所求切线方程为： .

2.3. 平面向量在具体解题中的应用

例2.7 如图2.3所示，求证： 的三条中线 、 、 相交于一点 .

证明：在平面内任取一点 设 ， ，

又设 为 上一点，且 ，则

因为 是 的中点，故 ，

即

同理  ，   即 

故  三点重合

特别地，当 为原点时，由此推出 的重心 的坐标公式：若三角形的三定点分别为 ， ， ，则重心 为    .

可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂, 叙述也繁时, 用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰。

例2.8 如图2.4，已知椭圆: ,直线 ： ， 是 上的一点，射线 交椭圆于 ，又点 在 上，且满足 ，当点 在 上运动时，求 的轨迹方程。

解：设 ，那么 , （ 为正实数）

则  ，

，即               即     （1）

又因点 分别在直线与椭圆上 ，

   （2）     （3）

将(2)(3)带入(1)得：

整理可得： （其中 不同时为0）。

注：利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题，可使繁琐的运算得以简化。

3. 向量在空间立体几何中的应用

在新研制的高中《数学课程标准》（实验稿）中空间向量是《标准》中选修课程系列2 的重要内容之一。 从结构上看，它虽然不是必修内容，但是希望在理工(包括部分经济类) 等方面发展的学生，必须选修。 实际上，如果按照以往的文理分科，“空间向量”是理工科学生必修的知识，可见它是限制性的选修内容，虽然选学的主动权由学生个人掌握；从内容上看,空间向量是新知识，用它解决立体何问题,有着其自身的特点，“提供了新的视角”。

3.1. 求空间角

引理1：设向量 与 的夹角为 （通常用 表示），则有 ,即 .

引理2: 设 ， 是与轴 同方向的向量， 在 上的射影为 ， 在 上的射影为 ，则 叫做向量在轴 或 上的正射影，简称射影。设向量 与 的夹角为 ，则CD= （这是 变成有向线段CD，方向与 或轴 的方向要么相同要么相反）。

3.1.1. 求两异面直线所成的角

向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。

例3.1 在平行六面体 中， ， ，

， ，若P、Q分别是 、 的中点，求：

（1） ； （2）对角线 与 的夹角。

分析：此题若通过解三角形求解，过程复杂利用向量方法可轻松求得；

解：（1）如图3.1 ， ，

， ，

根据向量内积公式得：

同理求得  ，

所以   

将有关数据代入得 ，故 .

（2）根据（1）所求 ，

同理可得  ，

故 

所以 

设 与 的夹角为 ，则 .

注：直线夹角有时与两向量夹角为互补关系，需予注意。

3.1.2. 求线面角

设 为平面 的法向量， 为平面 的斜线，则 （ ）满足   因此 斜线 与平面 所成的角为 。

例3.2  已知正方体 的边长为4，M、N、E、F分别是 、 、 、 的中点。

(1)求证平面 //平面 ；(2)求 与平面 所成的角。

解：建立空间直角坐标系，如图3.2所示：

(1)           易证四边形 为梯形

，

设 为平面 的法向量

则  ，

所以   ，

取 ，则 ， ，所以

又 ，  因为  ，  

所以  也为平面 的法向量   所以  平面 //平面 .

(2) 因为  ， ，

所以     

所以  与平面 所成的角为 .

3.1.3. 求二面角

设向量 、 分别是二面角 的两个面 与 的法向量，则 满足： ，则二面角的大小为 或 。

例3.3（2001年高考题）如图，在地面是直角梯形的四棱锥 中， ， 垂直平面 ， ， ，求平面 与平面 所成的二面角的正切值。

解：如图3.3所示，建立空间直角坐标系

易证 垂直平面 ，则

为平面 的法向量

，

设 为平面 的法向量，

则 ，即 ，取  则  ， ， ,

故  所以 平面 与平面 所成的二面角的正切值为 .

3.2. 求空间的距离

3.2.1. 空间两点之间的距离

直接用公式 ，或 可易于求空间两点之间的距离，在此再次就不举例了。

3.2.2. 点到平面的距离

如图3.4，P是平面 外一点，过P分别

作 的斜线QP(Q为斜足)，和垂线PO（O为垂足），设 为平面 的法向量，

则 必为直线PO的方向向量。由于OQ垂直于OP，所以OP为向量 在

上的射影，于是 .

例3.4 求例3.2中平面 与平面 的距离。

解：因为 ， 又 

所以  平面 与平面 的距离  .

 两异面直线之间的距离

如图3.5，a、b为异面直线，设 为a与

b的公垂线， 为 的方向向量， 为a、b

上任意两点的连线。由于AB垂直 ， 垂直

，所以 为向量 在 上的射影，

易证  .

例3.5 在棱长为1的正方体 中，P为 的中点， 、 、 分别是正方形 , , 的中心，求异面直线 与 的距离。

解：如图3.6所示，建立空间直角坐标系

由题意： ，

设 是异面直线BD与 的

公共法向量，则  ，即

取 ，则 ， 所以

又因为 所以 异面直线 与 的距离为 .

3.2.4. 线面距离和面面距离

转化为求点到面得距离。

注：要用空间向量解决立体几何问题，首先必须根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（夹角和距离等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题。

3.3. 根据相等向量证线共点

欲证线共点，可先在某线上找出一定点（常是唯一的特殊点），再证其余各线都过这一定点。

例3.6 　求证四面体不共面的三对棱的中点连成的三条线段相交于一点,且都在此点平分。

证明：如图3.7，在四面体 中，

、 、 、 、 、 分别是棱 、

、 、 、 、 的中点 

设 ， ，

、 、 的中点依次为 、 、  则

同理可推得 ， ，故 、 、 重合，即 、 、 共点与 ，且被 点平分。

3.4. 根据共线向量定理证点共线

欲证点共线, 通常先构造共始点的向量, 再根据共线向量定理证之。

例3.7  已知，如图12，在长方体 中， 为 的中点， 在 上，且 ， 为 的中点，求证 、 、 三点共线。

证明：设 ， ， ，则

  

    

所以  ，故 、 、 三点共线。

3.5. 根据共线向量定理证点（或线）共面

例3.8  已知，如图3.9， 、 、 、 、 、 分别为正方体 的棱 、 、 、 、 、 的中点。求证 、 、 三线共面

证明：设 ， ， ，则

，

同理： ，

因为    故  、 、 三线共面。

3.6. 根据共线向量定理证两直线平行

欲证两直线平行, 只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可。

例3.9  如图3.10，已知五边形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 的中点， 、 分别是 、 的中点，求证 // ，且 .

证明：任取一点 ，则

所以 

故  // ，且 .

3.7. 做法小结

如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标系时, 首先建立空间直角坐标系, 用坐标表示向量, 这是最简便的方法。如果图形中没有垂直关系或不太容易建立空间直角坐标系时, 可以根据条件以三个不共面的向量作为基向量, 用基向量表示空间向量, 并利用条件求出这三个向量间模数和数量积的关系。

结束语:

无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。

参考文献：

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［6］刘士华.唐冰清.例析向量在不等式中的应用［J］.上海中学数学.2006

［7］黄玉芳.利用向量方法解决立体几何问题［J］.合肥市职教中心分校.1999.

［8］魏延祥.空间向量在求角与距离中的应用［J］.青海教育数学天地.2005.

［9］蒋建伟.利用向量方法解立体几何问题［J］.中学数学教学.2002.

［10］             罗建宇.用向量方法求空间的角和距离［J］.技巧与方法.