抽象函数问题教学案例

抽象函数问题是“问题解决”的一种良好形式，也是培养学生数学能力和创新能力的一种良好载体。按照传统的教学方式，在复习课教学中，教师讲几道“典型”例题，学生“勉强”模仿了之，其学生的真正受益却不言而喻。笔者和课题^＊组的同仁们经过近几年的研究与实践认为，转变学习方式，调动学生的内部学习机制，优化学生学习的外部条件，构建或实施开放的教学模式是学生学好数学的关键。本文是笔者对高考学生在抽象函数问题专题复习中采用的数学开放式教学模式：阅读整理——交流反馈——反思迁移的课堂教学实录，在此展示，与同行共同探讨。

1.阅读整理（课前二天内在课余时间完成）

1.1课前序言

抽象函数问题，一般指没有给出函数具体解析式，只给出了其他一些条件（如函数定义域、解析递推式、取值情况、性质、图象特征等），研究解决这个函数的解析式、性质或与函数相关的参数范围、求值、不等式（或方程）解、图象、比较大小等的问题。这类问题具有概念抽象、综合性强、方法灵活等特点。它既是学习的难点，也是高考的热点，认真学习它是提高学生数学能力和创新能力的有效途径。

1.2展示学习目标

①会识别抽象函数问题；

②通过阅读抽象函数问题的专题研究文章，分类整理解决这类问题的常用方法，精选例证，在课堂中交流反馈。

③反思总结策略方法，能够灵活采用策略方法解决抽象函数问题。

1.3阅读整理指导

向大家推荐的阅读文章有[1][2][3][4][5][6],可到学生阅览室查阅,也可在其他报刊或网上查阅有关抽象函数问题方面的文章，以小组为单位合作研讨，不一定面面俱到，在某些方面有深刻见解也可，整理成书面材料，在课堂上通过实物展台由一名小组代表向

师生介绍，进行交流反馈。

2.交流反馈

学生1（二组代表投影交流）——赋值法。

问题1：已知定义在R上的函数f(x)对于任意x、y∈R都有f(y+x)+f(y-x)=2f(x)f(y),且f(0)≠0，试判断f(x)的奇偶性。

解：令x=y=0，则2f(0)=2f²(0),

∵f(0)≠0, ∴f (0)=1

令y=0，则由条件得

f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)

∴f(x)=f(-x)∴f(x)为偶函数。

二组认识：从本题来说，要判断奇偶性，寻求f(x)与f(-x)的关系是关键，若令y=0，则能找到f(x)与f(-x)关系，但需要知道f(0) 值，所以，还要令x=0, y=0。从整体而言，细心观察分析问题的条件和结论特征，若能对一般量赋予特殊值，能沟通或靠近条件与结论，则可用赋值法。

师生评析：二组同学对问题及其解决问题的方法从局部到整体认识透彻，点出了使用赋值法的根本所在。但还需认识到赋值法可以简化问题，同时也往往伴随着其它方法共同解决问题。

学生2（四组代表投影交流）——代换法。

问题2：设函数f(x)的定义域是R，对任意x₁、x₂有f(2x₁)+f(2x₂)=2f(x₁+x₂)f(x₁-x₂),

f()=0,判断f(x)是否为周期函数？若是，求出周期。

解：用、 -分别代换x₁、x₂，则f(x)+f(π-x)=2f( )f(x-)，又f( )=0,∴f(π-x)=-f(x).

用x代换x₁和x₂,则2f(2x)=2f(2x)f(0),

∴f(0)=1.

用、-代换x₁,x₂,则f(x)+f(-x)=2f(x) f(0),

∴f(-x)=f(x),

∴f(2π-x)=f[π-(x-π)]=-f(π-x)

      =f(x)=f(-x),

∴f(x)是以2π为周期的函数。

四组认识：我们采用了执果索因的逆向思考，其过程是f(2π-x)=f(-x)←f(-x)=f(x)←f(0)=1←f( )=0，但最根本的是预先猜测到周期是2π，这是参照了题目解析递推式和三角公式cosα+cosβ=2cos•cos相似,而y=cosx的周期是2π.所以,进行什么样的代换,必要时可猜测基本函数模型作思维基础.

师生评析:四组同学思维新颖,既运用了执果索因的逆向分析思维方法,又用了类比猜测思维,道出了代换的实质,代换法与赋值法有类似之处,但代换法一般是用代数式代替变量的。

学生3（七组代表投影交流）——分拆法。

问题3：已知定义在R上的函数f(x)满足

⑴对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y);

⑵当x>0时，f(x)<0，且f⑴=-2,求f(x)在[-3，3]的最大值与最小值。

解：任取-3≤x₁<x₂≤3,由条件⑴得f(x₂)=f[(x₂-x₁)+x₁]=f(x₂-x₁)+f(x₁),

∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁),

∵x₂-x₁>0,由条件⑵得f(x₂-x₁)<0,

∴f(x₂)<f(x₁),

∴f(x)在[-3，3]上单调递减，又令x=y=0，得f(0)=0,用-x代换y，得f(0)=f(x)+f(-x),

即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数。

∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=

-f(1+2)=-f⑴-f⑵=-f⑴-f⑴-f⑴=-3f⑴=6,

最小值为f⑶=-f(-3)=-6.

七组认识：分拆法是解决抽象函数问题的一种常用方法，其功能在于构造出能沟通符合要求的结构形式。象本题构造分拆式x₂=(x₂-x₁)+x₁,目的在于联系单调性定义，再用单调性求最值。

师生评析：七组同学抓住了使用分拆法的内在规律，分拆要因具体情况而定，常用的分拆类型有：

⑴f(x)=f[(x±y) y],⑵f(x)=f( )等。就本题而言，实际上综合运用了分拆法、赋值法、代换法。仔细想一下，有没有一个模型函数作思维基础呢（y=ax）？

学生4：（六组代表投影交流）——递推法。

问题4：已知f(a+b)=f(a)•f(b),f⑴=2,则 ++…+ =        .

解:用自然数n和1分别代换a和b得

f(n+1)=f(n)·f(1),所以,

=f(1)=2,故

++…+==4004.

六组认识:递推往往能得到很好的效果,尤其对周期性问题,与自然数n有关的问题.本题尽管不是现成的这二类问题,但通过代换变成了能够递推的问题.

师生评析:递推不仅仅适用于上述二种情形,抽象函数问题中所给变量关系式本身就是一个递推式.如本题中f(a+b)=f(a)f(b)递推可以向外(大范围)递推,也可向内(小范围)递推.同时问题4的解决是代换法、递推法、模型法(y=a^x)的综合.

学生5(一组代表投影交流)——性质法。

问题5：设定义在(0,＋∞)上的函数f(x)满足对一切正实数m、n，都有f( )=f(m)-f(n),且当x>1时，f(x)>0.

⑴求f(1)的值；

⑵判断f(x)的单调性并加以证明；

⑶若x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁≠x₂,试比较 [f(x₁)+f(x₂)]与f( )的大小。

解：⑴令m=n=1,得f(1)=f(1)-f(1),

∴f(1)=0.

⑵设x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁<x₂,

∴f(x₂)-f(x₁)=f( ),

∵x₁,x₂∈(0,+∞),且 >1，又当x>1时，f(x)>0,∴f( )>0,故f(x₂)-f(x₁)>0,即f(x)为增函数。

⑶∵f( )=f(m)-f(n),

∴f( )+f(n)=f(m)=f(•n),

∴f(x₁)+f(x₂)=f(x₁•x₂).

又∵当x₁、x₂∈(0,+∞)时，

x₁·x₂<( )²（x₁≠x₂）,

∴ [f(x₁)+f(x₂)]=f(x₁·x₂)

<f()²=f[()·()]

=[f()+f()]=f().

即 [f(x₁)+f(x₂)]<f().

问题6：对任意的函数y=f(x),在同一个直角坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y=f(-x+1)的图象恒（ ）

A.   关于x轴对称

    B.关于直线x=1对称

C.关于直线x=-1对称

   D.关于y轴对称

解：因为y=f(x)和y=f(-x)的图象关于直线x=0对称，所以y=f(x-1)和y=f(-x-1)的图象关于直线x=1对称，故选B.

一组认识:有很多抽象函数问题与函数本身的性质有关,用已知条件探究函数性质,或用函数的某些性质探究其它性质.如问题5是先研究单调性,再用单调性比较大小,问题6是用对称性探究对称性.还有运用周期性、奇偶性等解决不同要求的抽象函数问题，在此不一一列举。

师生评析：一组同学的认识比较完善，事实上，面对抽象函数问题的已知或未知性质，在细节处理上有极大的灵活性和技巧性，这需要进一步体会。再者，一组同学问题5交流中，也是赋值法、分拆法、性质法多法并用。

学生6（八组代表投影交流）——模型法。

问题7：若函数f(x)和g(x)在R上有定义，且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)

≠0,则g(1)+g(-1)=      .

解析：f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)类似于sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny,

∴可把y=sinx作为模型函数，

∵Sin(-2)=Sin(-1-1)=Sin(-1)Cos1-Cos(-1)Sin1

=-sin1[cos1+cos(-1)]=sin1,

∴cos1+cos(-1)=-1

即g(1)+g(-1)=-1.

问题8：如果函数f(x)在（0，2]上是增函数，且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数，那么下列结论正确的是（ ）

A.    f⑴<f( )<f()

 B.f()<f⑴<f( )

 C．f( )<f()<f⑴

 D.f()<f⑴<f( )

解析：根据题目条件，可构造模型函数f(x)=-|x-2|,那么f(x+2)=-|x|,作函数图像比较数值f⑴、f( )、f( )得应选（C）.

六组认识：模型法是解决抽象函数问题的一种重要方法，有很多抽象函数问题存在符合条件的模型函数，有些可从递推解析式特点直接找到基本函数模型（如问题7），有些需根据问题条件构建模型函数（如问题8）.

师生评析：六组同学的认识是正确的，但在模型法的使用上还要注意二点：①对选择题和填空题可以直接用模型法求解，类似于特例法求解；而对解答题只能把模型函数作为解决问题的思维基础，提供预测和思路，不能直接用模型函数参与解答，类似于不能把特例与一般等价；②常见的递推解析式与模型函数有：

f(xy)=f(x)f(y)与y=x^a;

f(xy)=f(x)+f(y)或f( )=y(x)-f(y)与y=loga^x(如问题5)；

f(x+y)=f(x)f(y)与y=a^x（如问题4）；

f(x+y)=f(x)+f(y)与y=ax(如问题３)；

f(y-x)+f(y-x)=2f(x)f(y)与y=cosx

(如问题1、问题2)；

f(x)g(y)-g(x)f(y)=f(x-y)与y=sinx

(如问题７)等。

3.反思迁移

问题９（由教师提出）：

①解决抽象函数问题的常用方法有哪些？你如何用这些方法解决所遇到的新的抽象函数问题？

②各小组再提供一道好的抽象函数问题，每位同学精选３道作为今天的作业题完成。

学生反思：解决抽象函数问题的常用方法有赋值法、代换法、分拆法、递推法、性质法、模型法等，在解决抽象函数问题时要因题灵活运用这些方法，往往一个问题的解决是多种方法的结合。学会解题分析和会用方法是解决问题的关键。

巩固迁移：10个小组共提供了10道题，按各自爱好都选了三道题完成了作业，根据批阅作业情况，同学们的作业质量比较高。

教师反思：①这是一节数学开放式教学在专题复习中的成功实验课，体现出了作者和课题组的意图，对子模式：阅读整理——交流反馈——反思迁移的实施在每个环节上都是比较理想的，在学习目标的实现和教学模式的运用效果上比始料的要好的多，远远超越了传统的“讲解——接受”式教学效果。②以R·M加涅的学习条件理论作指导，通过优化学生的内部和外部条件，实现五种学习性能，尤其在认知策略（编码、归类、言语指导等）、言语信息（认知结构、编码策略、增加线索的区别性、重复等）、问题解决（回忆规则、组织言语信息、认知策略的运用，创设情境等）方面的内部和外部条件的创建比较成功。参考实践了引起注意——告知学习目标——回忆先前学习——呈现刺激材料——提供指导、引出行为——评价——促进保持和迁移的教学思想。同时也整合运用了B·乔伊斯的合作学习和角色扮演教学思想，加德纳的多元智能教学思想。③教学理论、学习目标、问题解决、教学模式、教学活动、案例分析、媒体选择、评价成为中学教学开放式教学实验研究的重要研究对象，要以目标为导向、问题为载体、模式为桥梁、活动为主线、案例为重点、媒体科学化、评价多元化实施开放式教学。